26.(14分)(2014•泉州)如圖，直線y=﹣x+3與x，y軸分別交于點A，B，與反比例函數的圖象交于點P(2，1).

　　(1)求該反比例函數的關系式;

　　(2)設PC⊥y軸于點C，點A關于y軸的對稱點為A′;

　　①求△A′BC的周長和sin∠BA′C的值;

　　②對大于1的常數m，求x軸上的點M的坐標，使得sin∠BMC= .

　　考點： 反比例函數綜合題;待定系數法求反比例函數解析式;勾股定理;矩形的判定與性質;垂徑定理;直線與圓的位置關系;銳角三角函數的定義

　　專題： 壓軸題;探究型.

　　分析： (1)設反比例函數的關系式y= ，然后把點P的坐標(2，1)代入即可.

　　(2)①先求出直線y=﹣x+3與x、y軸交點坐標，然后運用勾股定理即可求出△A′BC的周長;過點C作CD⊥AB，垂足為D，運用面積法可以求出CD長，從而求出sin∠BA′C的值.

　　②由于BC=2，sin∠BMC= ，因此點M在以BC為弦，半徑為m的⊙E上，因而點M應是⊙E與x軸的交點.然后對⊙E與x軸的位置關系進行討論，只需運用矩形的判定與性質、勾股定理等知識就可求出滿足要求的點M的坐標.

　　解答： 解：(1)設反比例函數的關系式y= .

　　∵點P(2，1)在反比例函數y= 的圖象上，

　　∴k=2×1=2.

　　∴反比例函數的關系式y= .

　　(2)①過點C作CD⊥AB，垂足為D，如圖1所示.

　　當x=0時，y=0+3=3，

　　則點B的坐標為(0，3).OB=3.

　　當y=0時，0=﹣x+3，解得x=3，

　　則點A的坐標為(3，0)，OA=3.

　　∵點A關于y軸的對稱點為A′，

　　∴OA′=OA=3.

　　∵PC⊥y軸，點P(2，1)，

　　∴OC=1，PC=2.

　　∴BC=2.

　　∵∠AOB=90°，OA′=OB=3，OC=1，

　　∴A′B=3 ，A′C= .

　　∴△A′BC的周長為3 + +2.

　　∵S△ABC= BC•A′O= A′B•CD，

　　∴BC•A′O=A′B•CD.

　　∴2×3=3 ×CD.

　　∴CD= .

　　∵CD⊥A′B，

　　∴sin∠BA′C=

　　=

　　= .

　　∴△A′BC的周長為3 + +2，sin∠BA′C的值為 .

　　②當1

　　作經過點B、C且半徑為m的⊙E，

　　連接CE并延長，交⊙E于點P，連接BP，

　　過點E作EG⊥OB，垂足為G，

　　過點E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2①所示.

　　∵CP是⊙E的直徑，

　　∴∠PBC=90°.

　　∴sin∠BPC= = = .

　　∵sin∠BMC= ，

　　∴∠BMC=∠BPC.

　　∴點M在⊙E上.

　　∵點M在 x軸上

　　∴點M是⊙E與x軸的交點.

　　∵EG⊥BC，

　　∴BG=GC=1.

　　∴OG=2.

　　∵∠EHO=∠GOH=∠OGE=90°，

　　∴四邊形OGEH是矩形.

　　∴EH=OG=2，EG=OH.

　　∵1

　　∴EH>EC.

　　∴⊙E與x軸相離.

　　∴x軸上不存在點M，使得sin∠BMC= .

　　②當m=2時，EH=EC.

　　∴⊙E與x軸相切.

　　Ⅰ.切點在x軸的正半軸上時，如圖2②所示.

　　∴點M與點H重合.

　　∵EG⊥OG，GC=1，EC=m，

　　∴EG=

　　= .

　　∴OM=OH=EG= .

　　∴點M的坐標為( ，0).

　　Ⅱ.切點在x軸的負半軸上時，

　　同理可得：點M的坐標為(﹣ ，0).

　　③當m>2時，EH

　　∴⊙E與x軸相交.

　　Ⅰ.交點在x軸的正半軸上時，

　　設交點為M、M′，連接EM，如圖2③所示.

　　∵∠EHM=90°，EM=m，EH=2，

　　∴MH=

　　=

　　= .

　　∵EH⊥MM′，

　　∴MH=M′H.

　　∴M′H═ .

　　∵∠EGC=90°，GC=1，EC=m，

　　∴EG=

　　=

　　= .

　　∴OH=EG= .

　　∴OM=OH﹣MH= ﹣ ，

　　∴OM′=OH+HM′= + ，

　　∴M( ﹣ ，0)、M′( + ，0).

　　Ⅱ.交點在x軸的負半軸上時，

　　同理可得：M(﹣ + ，0)、M′(﹣ ﹣ ，0).

　　綜上所述：當1

　　當m=2時，滿足要求的點M的坐標為( ，0)和(﹣ ，0);

　　當m>2時，滿足要求的點M的坐標為( ﹣ ，0)、( + ，0)、(﹣ + ，0)、(﹣ ﹣ ，0).

　　點評： 本題考查了用待定系數法求反比例函數的關系式、勾股定理、三角函數的定義、矩形的判定與性質、直線與圓的位置關系、垂徑定理等知識，考查了用面積法求三角形的高，考查了通過構造輔助圓解決問題，綜合性比較強，難度系數比較大.由BC=2，sin∠BMC= 聯想到點M在以BC為弦，半徑為m的⊙E上是解決本題的關鍵.

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