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初三二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

時(shí)間: 如英2 高考輔導(dǎo)

  二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)在初中數(shù)學(xué)中是十分重要的一個(gè)章節(jié)。今天學(xué)習(xí)啦小編就與大家分享:初三二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn),希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有幫助!

  初三二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一

  I.定義與定義表達(dá)式

  一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=ax^2+bx+c

  (a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開(kāi)口方向,a>0時(shí),開(kāi)口方向向上,a<0時(shí),開(kāi)口方向向下,IaI還可以決定開(kāi)口大小,IaI越大開(kāi)口就越小,IaI越小開(kāi)口就越大.)則稱y為x的二次函數(shù)。

  二次函數(shù)表達(dá)式的右邊通常為二次三項(xiàng)式。

  II.二次函數(shù)的三種表達(dá)式

  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

  頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點(diǎn)P(h,k)]

  交點(diǎn)式:y=a(x-x₁)(x-x ₂) [僅限于與x軸有交點(diǎn)A(x₁ ,0)和 B(x₂,0)的拋物線]

  注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:

  h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

  III.二次函數(shù)的圖像

  在平面直角坐標(biāo)系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

  IV.拋物線的性質(zhì)

  1.拋物線是軸對(duì)稱圖形。對(duì)稱軸為直線 x = -b/2a。

  對(duì)稱軸與拋物線唯一的交點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)P。特別地,當(dāng)b=0時(shí),拋物線的對(duì)稱軸是y軸(即直線x=0)

  2.拋物線有一個(gè)頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為:P ( -b/2a ,(4ac-b^2)/4a )當(dāng)-b/2a=0時(shí),P在y軸上;當(dāng)Δ= b^2-4ac=0時(shí),P在x軸上。

  3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大小。

  當(dāng)a>0時(shí),拋物線向上開(kāi)口;當(dāng)a<0時(shí),拋物線向下開(kāi)口。|a|越大,則拋物線的開(kāi)口越小。

  4.一次項(xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱軸的位置。

  當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)(即ab>0),對(duì)稱軸在y軸左;

  當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)(即ab<0),對(duì)稱軸在y軸右。

  5.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)。

  拋物線與y軸交于(0,c)

  6.拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

  Δ= b^2-4ac>0時(shí),拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)。

  Δ= b^2-4ac=0時(shí),拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)。

  Δ= b^2-4ac<0時(shí),拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)。X的取值是虛數(shù)(x= -b±√b^2-4ac 的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個(gè)式子除以2a)

  V.二次函數(shù)與一元二次方程

  特別地,二次函數(shù)(以下稱函數(shù))y=ax^2+bx+c,

  當(dāng)y=0時(shí),二次函數(shù)為關(guān)于x的一元二次方程(以下稱方程),即ax^2+bx+c=0

  此時(shí),函數(shù)圖像與x軸有無(wú)交點(diǎn)即方程有無(wú)實(shí)數(shù)根。函數(shù)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為方程的根。

  1.二次函數(shù)y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同。

  當(dāng)h>0時(shí),y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位得到,

  當(dāng)h<0時(shí),則向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位得到.

  當(dāng)h>0,k>0時(shí),將拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2 +k的圖象;

  當(dāng)h>0,k<0時(shí),將拋物線y=ax^2向右平行移動(dòng)h個(gè)單位,再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  當(dāng)h<0,k>0時(shí),將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位,再向上移動(dòng)k個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  當(dāng)h<0,k<0時(shí),將拋物線向左平行移動(dòng)|h|個(gè)單位,再向下移動(dòng)|k|個(gè)單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  因此,研究拋物線 y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過(guò)配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫(huà)圖象提供了方便.

  2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當(dāng)a>0時(shí),開(kāi)口向上,當(dāng)a<0時(shí)開(kāi)口向下,對(duì)稱軸是直線x=-b/2a,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

  3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當(dāng)x ≤ -b/2a時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x ≥ -b/2a時(shí),y隨x的增大而增大.若a<0,當(dāng)x ≤ -b/2a時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x ≥ -b/2a時(shí),y隨x的增大而減小.

  4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn):

  (1)圖象與y軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);

  (2)當(dāng)△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點(diǎn)A(x₁,0)和B(x₂,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

  (a≠0)的兩根.這兩點(diǎn)間的距離AB=|x₂-x₁|

  當(dāng)△=0.圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);

  當(dāng)△<0.圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).當(dāng)a>0時(shí),圖象落在x軸的上方,x為任何實(shí)數(shù)時(shí),都有y>0;當(dāng)a<0時(shí),圖象落在x軸的下方,x為任何實(shí)數(shù)時(shí),都有y<0.

  5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當(dāng)x= -b/2a時(shí),y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

  頂點(diǎn)的橫坐標(biāo),是取得最值時(shí)的自變量值,頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),是最值的取值.

  6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

  (1)當(dāng)題給條件為已知圖象經(jīng)過(guò)三個(gè)已知點(diǎn)或已知x、y的三對(duì)對(duì)應(yīng)值時(shí),可設(shè)解析式為一般形式:

  y=ax^2+bx+c(a≠0).

  (2)當(dāng)題給條件為已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸時(shí),可設(shè)解析式為頂點(diǎn)式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).

  (3)當(dāng)題給條件為已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),可設(shè)解析式為兩根式:y=a(x-x₁)(x-x₂)(a≠0).

  7.二次函數(shù)知識(shí)很容易與其它知識(shí)綜合應(yīng)用,而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此,以二次函數(shù)知識(shí)為主的綜合性題目是中考的熱點(diǎn)考題,往往以大題形式出現(xiàn).

  初三二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)二

  首先我們要學(xué)習(xí)二次函數(shù),就應(yīng)該先了解什么叫做二次函數(shù),一般來(lái)說(shuō),下圖所表示的形式一般就是二次函數(shù):

  在這里我們需要注意的就是a是不等于0的,而b、c可以等于0。通過(guò)觀察二次函數(shù)我們可以發(fā)現(xiàn),二次函數(shù)的等號(hào)的左邊是函數(shù),而右邊是關(guān)于自變量X的二次等式,X的最高次數(shù)是2。而abc都是一個(gè)常數(shù),其中,我們把a(bǔ)稱之為二次項(xiàng)系數(shù),其不為零。而b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng)。

  二次函數(shù)最為基本的形似,就是當(dāng)b、c都等于0的時(shí)候,這個(gè)時(shí)候我們可以看一下二次函數(shù)基本形式的一些相關(guān)性質(zhì),如下圖所示

  無(wú)論是基本形式的二次函數(shù),還是其他形式的二次函數(shù),有一些知識(shí)點(diǎn)都是共同的,在我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)的時(shí)候都會(huì)用到的。一個(gè)就是a的符號(hào),因?yàn)閍的符號(hào)確定了圖像的開(kāi)口方向是向上的還是向下的。

  這里需要給同學(xué)們一個(gè)建議,無(wú)論是學(xué)習(xí)二次函數(shù)還是其他什么別的函數(shù),學(xué)習(xí)函數(shù)最基本的就是畫(huà)圖像。很多時(shí)候解題的時(shí)候,我們都可以通過(guò)所畫(huà)出的函數(shù)圖像來(lái)解答題目,這種方法的好處就是簡(jiǎn)單快捷,所以我們?cè)趯W(xué)習(xí)函數(shù)的時(shí)候一定也要學(xué)習(xí)如何畫(huà)出函數(shù)的圖像。

  一般來(lái)說(shuō)二次函數(shù)基本形式的頂點(diǎn)坐標(biāo)都是在原點(diǎn),也就是(0,0)處,而完整形式的二次函數(shù)我們就可以通過(guò)常數(shù)項(xiàng)c來(lái)判斷。除了頂點(diǎn)坐標(biāo),開(kāi)口方向之外,二次函數(shù)圖像還有一個(gè)很重要的地方就是對(duì)稱軸,因?yàn)槎魏瘮?shù)是一個(gè)對(duì)稱圖像,所以對(duì)稱軸的存在就十分重要。因此,當(dāng)我們學(xué)習(xí)二次函數(shù)的時(shí)候一定要注意這三個(gè)方面的學(xué)習(xí),就是開(kāi)口方向、頂點(diǎn)坐標(biāo)以及對(duì)稱軸。

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