《完全平方公式》教學設計

　　計算：

　　(1)(x+1)2; (2)(x-1)2;

　　(3)(a+b)2; (4)(a-b)2.

　　由上述計算，你發現了什么結論?

　　二、合作探究

　　探究點：完全平方公式

　　【類型一】 直接運用完全平方公式進行計算

　　利用完全平方公式計算：

　　(1)(5-a)2;

　　(2)(-3m-4n)2;

　　(3)(-3a+b)2.

　　解析：直接運用完全平方公式進行計算即可.

　　解：(1)(5-a)2=25-10a+a2;

　　(2)(-3m-4n)2=9m2+24mn+16n2;

　　(3)(-3a+b)2=9a2-6ab+b2.

　　方法總結：完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2.可巧記為“首平方，末平方，首末兩倍中間放”.

　　【類型二】 構造完全平方式

　　如果36x2+(m+1)xy+25y2是一個完全平方式，求m的值.

　　解析：先根據兩平方項確定出這兩個數，再根據完全平方公式確定m的值.

　　解：∵36x2+(m+1)xy+25y2=(6x)2+(m+1)xy+(5y)2，∴(m+1)xy=±2?6x?5y，∴m+1=±60，∴m=59或-61.

　　方法總結：兩數的平方和加上或減去它們積的2倍，就構成了一個完全平方式.注意積的2倍的符號，避免漏解.

　　【類型三】 運用完全平方公式進行簡便計算

　　利用完全平方公式計算：

　　(1)992; (2)1022.

　　解析：(1)把99寫成(100-1)的形式，然后利用完全平方公式展開計算.(2)可把102分成100+2，然后根據完全平方公式計算.

　　解：(1)992=(100-1)2=1002-2×100+12=10000-200+1=9801;

　　(2)1022=(100+2)2=1002+2×100×2+4=10404.

　　方法總結：利用完全平方公式計算一個數的平方時，先把這個數寫成整十或整百的數與另一個數的和或差，然后根據完全平方公式展開計算.

　　【類型四】 靈活運用完全平方公式求代數式的值

　　若(x+y)2=9，且(x-y)2=1.

　　(1)求1x2+1y2的值;

　　(2)求(x2+1)(y2+1)的值.

　　解析：(1)先去括號，再整體代入即可求出答案;(2)先變形，再整體代入，即可求出答案.

　　解：(1)∵(x+y)2=9，(x-y)2=1，∴x2+2xy+y2=9，x2-2xy+y2=1，4xy=9-1=8，∴xy=2，∴1x2+1y2=x2+y2x2y2=(x+y)2-2xyx2y2=9-2×222=54;

　　(2)∵(x+y)2=9，xy=2，∴(x2+1)(y2+1)=x2y2+y2+x2+1=x2y2+(x+y)2-2xy+1=22+9-2×2+1=10.

　　方法總結：所求的展開式中都含有xy或x+y時，我們可以把它們看作一個整體代入到需要求值的代數式中，整體求解.

　　【類型五】 完全平方公式的幾何背景

　　我們已經接觸了很多代數恒等式，知道可以用一些硬紙片拼成的圖形面積來解釋一些代數恒等式.例如圖甲可以用來解釋(a+b)2-(a-b)2=4ab.那么通過圖乙面積的計算，驗證了一個恒等式，此等式是(　　)

　　A.a2-b2=(a+b)(a-b)

　　B.(a-b)(a+2b)=a2+ab-2b2

　　C.(a-b)2=a2-2ab+b2

　　D.(a+b)2=a2+2ab+b2

　　解析：空白部分的面積為(a-b)2，還可以表示為a2-2ab+b2，所以，此等式是(a-b)2=a2-2ab+b2.故選C.

　　方法總結：通過幾何圖形面積之間的數量關系對完全平方公式做出幾何解釋.

　　【類型六】 與完全平方公式有關的探究問題

　　下表為楊輝三角系數表，它的作用是指導讀者按規律寫出形如(a+b)n(n為正整數)展開式的系數，請你仔細觀察下表中的規律，填出(a+b)6展開式中所缺的系數.

　　(a+b)1=a+b，

　　(a+b)2=a2+2ab+b2，

　　(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，

　　則(a+b)6=a6+6a5b+15a4b2+________a3b3+15a2b4+6ab5+b6.

　　解析：由(a+b)1=a+b，(a+b)2=a2+2ab+b2，(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3可得(a+b)n的各項展開式的系數除首尾兩項都是1外，其余各項系數都等于(a+b)n-1的相鄰兩個系數的和，由此可得(a+b)4的各項系數依次為1、4、6、4、1;(a+b)5的各項系數依次為1、5、10、10、5、1;因此(a+b)6的系數分別為1、6、15、20、15、6、1，故填20.

　　方法總結：對于規律探究題，讀懂題意并根據所給的式子尋找規律，是快速解題的關鍵.

　　三、板書設計

　　1.完全平方公式

　　兩個數的和(或差)的平方，等于這兩個數的平方和加(或減)這兩個數乘積的2倍.

　　(a+b)2=a2+2ab+b2;(a-b)2=a2-2ab+b2.

　　2.完全平方公式的運用

　　本節課通過多項式乘法推導出完全平方公式，讓學生自己總結出完全平方公式的特征，注意不要出現如下錯誤：(a+b)2=a2+b2，(a-b)2=a2-b2.為幫助學生記憶完全平方公式，可采用如下口訣：首平方，尾平方，乘積兩倍在中央.教學中，教師可通過判斷正誤等習題強化學生對完全平方公式的理解記憶。

　　《完全平方公式》知識點總結

　　1.完全平方公式：

　　完全平方有三項，首尾符號是同鄉，首平方、尾平方，首尾二倍放中央;

　　首尾括號帶平方，尾項符號隨中央。

　　2.因式分解：

　　一提(公因式)二套(公式)三分組，細看幾項不離譜，

　　兩項只用平方差，三項十字相乘法，陣法熟練不馬虎，

　　四項仔細看清楚，若有三個平方數(項)，

　　就用一三來分組，否則二二去分組，

　　五項、六項更多項，二三、三三試分組，

　　以上若都行不通，拆項、添項看清楚。

　　3.單項式運算：

　　加、減、乘、除、乘(開)方，三級運算分得清，

　　系數進行同級(運)算，指數運算降級(進)行。

　　4.一元一次不等式解題的一般步驟：

　　去分母、去括號，移項時候要變號，同類項合并好，再把系數來除掉，

　　兩邊除(以)負數時，不等號改向別忘了。

　　5.一元一次不等式組的解集：

　　大大取較大，小小取較小，小大、大小取中間，大小、小大無處找。

　　一元二次不等式、一元一次絕對值不等式的解集：

　　大(魚)于(吃)取兩邊，小(魚)于(吃)取中間。

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