6)有不知多少人(至少兩人)排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數(shù)目都比人數(shù)少1。

大家可以先不看我下面的分析，試著做做這幾題。

如果按照上面3頂黑帽2頂白帽時的推理方法去做，那么10個人就可以把我們累死，別說5000個人了。但是3)中的n是個抽象的數(shù)，考慮一下怎么解決這個問題，對解決一般的問題大有好處。

假設(shè)現(xiàn)在n個人都已經(jīng)戴好了帽子，問排在最后的那一個人他頭上的帽子是什么顏色，什么時候他會回答“知道”?很顯然，只有在他看見前面n-1個人都戴著白帽時才可能，因為這時所有的n-1頂白帽都已用光，在他自己的腦袋上只能頂著黑帽子，只要前面有一頂黑帽子，那么他就無法排除自己頭上是黑帽子的可能——即使他看見前面所有人都是黑帽，他還是有可能戴著第n頂黑帽。

現(xiàn)在假設(shè)最后那個人的回答是“不知道”，那么輪到問倒數(shù)第二人。根據(jù)最后面那位的回答，他能推斷出什么呢?如果他看見的都是白帽，那么他立刻可以推斷出自己戴的是黑帽——要是他也戴著白帽，那么最后那人應(yīng)該看見一片白帽，問到他時他就該回答“知道”了。但是如果倒數(shù)第二人看見前面至少有一頂黑帽，他就無法作出判斷——他有可能戴著白帽，但是他前面的那些黑帽使得最后那人無法回答“知道”;他自然也有可能戴著黑帽。

這樣的推理可以繼續(xù)下去，但是我們已經(jīng)看出了苗頭。最后那個人可以回答“知道”當(dāng)且僅當(dāng)他看見的全是白帽，所以他回答“不知道”當(dāng)且僅當(dāng)他至少看見了一頂黑帽。這就是所有帽子顏色問題的關(guān)鍵!

如果最后一個人回答“不知道”，那么他至少看見了一頂黑帽，所以如果倒數(shù)第二人看見的都是白帽，那么最后那個人看見的至少一頂黑帽在哪里呢?不會在別處，只能在倒數(shù)第二人自己的頭上。這樣的推理繼續(xù)下去，對于隊列中的每一個人來說就成了：

“在我后面的所有人都看見了至少一頂黑帽，否則的話他們就會按照相同的判斷斷定自己戴的是黑帽，所以如果我看見前面的人戴的全是白帽的話，我頭上一定戴著我身后那個人看見的那頂黑帽。”

我們知道最前面的那個人什么帽子都看不見，就不用說看見黑帽了，所以如果他身后的所有人都回答說“不知道”，那么按照上面的推理，他可以確定自己戴的是黑帽，因為他身后的人必定看見了一頂黑帽——只能是第一個人他自己頭上的那頂。事實(shí)上很明顯，第一個說出自己頭上是什么顏色帽子的那個人，就是從隊首數(shù)起的第一個戴黑帽子的人，也就是那個從隊尾數(shù)起第一個看見前面所有人都戴白帽子的人。

這樣的推理也許讓人覺得有點(diǎn)循環(huán)論證的味道，因為上面那段推理中包含了“如果別人也使用相同的推理”這樣的意思，在邏輯上這樣的自指式命題有點(diǎn)危險。但是其實(shí)這里沒有循環(huán)論證，這是類似數(shù)學(xué)歸納法的推理，每個人的推理都建立在他后面那些人的推理上，而對于最后一個人來說，他的身后沒有人，所以他的推理不依賴于其他人的推理就可以成立，是歸納中的第一個推理。稍微思考一下，我們就可以把上面的論證改得適合于任何多種顏色的推論：

“如果我們可以從假設(shè)斷定某種顏色的帽子一定會在隊列中出現(xiàn)，從隊尾數(shù)起第一個看不見這種顏色的帽子的人就立刻可以根據(jù)和此論證相同的論證來作出判斷，他戴的是這種顏色的帽子。現(xiàn)在所有我身后的人都回答不知道，所以我身后的人也看見了此種顏色的帽子。如果在我前面我見不到此顏色的帽子，那么一定是我戴著這種顏色的帽子。”

當(dāng)然第一個人的初始推理相當(dāng)簡單：“隊列中一定有人戴這種顏色的帽子，現(xiàn)在我看不見前面有人戴這顏色的帽子，那它只能是戴在我的頭上了。”

對于題1)事情就變得很明顯，3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子給10個人戴，隊列中每種顏色至少都該有一頂，于是從隊尾數(shù)起第一個看不見某種顏色的帽子的人就能夠斷定他自己戴著這種顏色的帽子，通過這點(diǎn)我們也可以看到，最多問到從隊首數(shù)起的第三人時，就應(yīng)該有人回答“知道”了，因為從隊首數(shù)起的第三人最多只能看見兩頂帽子，所以最多看見兩種顏色，如果他后面的人都回答“不知道”，那么他前面一定有兩種顏色的帽子，而他頭上戴的一定是他看不見的那種顏色的帽子。

題2)也一樣，3頂紅帽子，4頂黑帽子，5頂白帽子給8個人戴，那么隊列中一定至少有一頂白帽子，因為其它顏色加起來一共才7頂，所以隊列中一定會有人回答“知道”。

題4)的規(guī)模大了一點(diǎn)，但是道理和2)完全一樣。100種顏色的5050頂帽子給5000人戴，前面99種顏色的帽子數(shù)量是1+……+99=4950，所以隊列中一定有第100種顏色的帽子(至少有50頂)，所以如果自己身后的人都回答“不知道”，那么那個看不見顏色100帽子的人就可以斷定自己戴著這種顏色的帽子。

至于5)、6)“有紅黃綠三種顏色的帽子各1頂2頂3頂，但具體不知道哪種顏色是幾頂，有6個人”以及“有不知多少人排成一排，有黑白兩種帽子，每種帽子的數(shù)目都比人數(shù)少1”，原理完全相同，我就不具體分析了。

最后要指出的一點(diǎn)是，上面我們只是論證了，如果我們可以根據(jù)各種顏色帽子的數(shù)量和隊列中的人數(shù)判斷出在隊列中至少有一頂某種顏色的帽子，那么一定有一人可以判斷出自己頭上的帽子的顏色。因為如果所有身后的人都回答“不知道”的話，那個從隊尾數(shù)起第一個看不見這種顏色的帽子的人就可以判斷自己戴了此顏色的帽子。但是這并不是說在詢問中一定是由他來回答“知道”的，因為還可能有其他的方法來判斷自己頭上帽子的顏色。比如說在題2)中，如果隊列如下：(箭頭表示隊列中人臉朝的方向)

白白黑黑黑黑紅紅紅白→

那么在隊尾第一人就立刻可以回答他頭上的是白帽，因為他看見了所有的3頂紅帽子和4頂黑帽子，能留給他自己戴的只能是白帽子了

【69】假設(shè)排列著100個乒乓球，由兩個人輪流拿球裝入口袋，能拿到第100個乒乓球的人為勝利者。條件是：每次拿球者至少要拿1個，但最多不能超過5個，問：如果你是最先拿球的人，你該拿幾個?以后怎么拿就能保證你能得到第100個乒乓球?

首先拿4個 別人拿n個你就拿6-n個

【70】盧姆教授說：“有一次 我目擊了兩只山羊的一場殊死決斗，結(jié)果引出了一個有趣的數(shù)學(xué)問題。我的一位鄰居有一只山羊，重54磅，它已有好幾個季度在附近山區(qū)稱王稱霸。后來某個好事 之徒引進(jìn)了一只新的山羊，比它還要重出3磅。開始時，它們相安無事，彼此和諧相處。可是有一天，較輕的那只山羊站在陡峭的山路頂上，向它的競爭對手猛撲過 去，那對手站在土丘上迎接挑戰(zhàn)，而挑戰(zhàn)者顯然擁有居高臨下的優(yōu)勢。不幸的是，由于猛烈碰撞，兩只山羊都一命嗚呼了。

現(xiàn)在要講一講本題的奇妙之處。對飼養(yǎng)山羊頗有研究，還寫過書的喬治.阿伯克龍比說道：“通過反復(fù)實(shí)驗，我發(fā)現(xiàn)，動量相當(dāng)于一個自20英尺高處墜落下來 的30磅重物的一次撞擊，正好可以打碎山羊的腦殼，致它死命。”如果他說得不錯，那么這兩只山羊至少要有多大的逼近速度，才能相互撞破腦殼?你能算出來 嗎?

1英尺(ft)=0.3048米(m)

1磅(lb)=0.454千克(kg)

通過實(shí)驗得到撞破腦殼所需要的機(jī)械能是mgh=(30_0.454)_9.8_(20_0.3048)=813.669(J)對于兩只山羊撞擊瞬間來說，比較重的那只僅僅是站在原地，只有較輕的山羊具有速度，而題目中暗示我們，兩只羊僅一次碰撞致死。現(xiàn)在我們只需要求得碰撞瞬間輕山羊的瞬時速度就可以了，根據(jù)機(jī)械能守恒定律:mgh=1/2(m1v^2)可以得出速度。m1是輕山羊的重量。

【71】據(jù)說有人給酒肆的老板娘出了一個難題：此人明明知道店里只有兩個舀酒的勺子，分別能舀7兩和11兩酒，卻硬要老板娘賣給他2兩酒。聰明的老板娘毫不含糊，用這兩個勺子在酒缸里舀酒，并倒來倒去，居然量出了2兩酒，聰明的你能做到嗎?

11,0-->4,7-->4,0-->0,4-->11,4-->8,7-->8,0-->1,7-->1,0-->0,1-->11,1-->5,7-->5,0-->0,5-->11,5-->9,7-->9,0-->2,7，這樣就有2斤了。

【72】已知： 每個飛機(jī)只有一個油箱， 飛機(jī)之間可以相互加油(注意是相互，沒有加油機(jī)) 一箱油可供一架飛機(jī)繞地球飛半圈，問題：為使至少一架飛機(jī)繞地球一圈回到起飛時的飛機(jī)場，至少需要出動幾架飛機(jī)?(所有飛機(jī)從同一機(jī)場起飛，而且必須安全返回機(jī)場，不允許中途降落，中間沒有飛機(jī)場)

需要3架飛機(jī)(記為A，B，C)，A走完全程。如下圖，黑色箭頭表示飛行方向，紅色箭頭表示一架給另一架加油，紅色數(shù)字表示加油量整個油箱容量的比值。

【73】在9個點(diǎn)上畫10條直線，要求每條直線上有三個點(diǎn)?

【74】一個岔路口分別通向誠實(shí)國和說謊國。來了兩個人，已知一個是誠實(shí)國的，另一個是說謊國的。誠實(shí)國永遠(yuǎn)說實(shí)話，說謊國永遠(yuǎn)說謊話。現(xiàn)在你要去說謊國，但不知道應(yīng)該走哪條路，需要問這兩個人。請問應(yīng)該怎么問?

問：請問你從哪里來?

回答肯定都是指向誠實(shí)國的。

【75】在一天的24小時之中，時鐘的時針、分針和秒針完全重合在一起的時候有幾次?都分別是什么時間?你怎樣算出來的?

只有兩次

假設(shè)時針的角速度是ω(ω=π/6每小時)，則分針的角速度為12ω，秒針的角速度為72ω。分針與時針再次重合的時間為t，則有12ωt-ωt=2π，t=12/11小時，換算成時分秒為1小時5分27.3秒，顯然秒針不與時針分針重合，同樣可以算出其它10次分針與時針重合時秒針都不能與它們重合。只有在正12點(diǎn)和0點(diǎn)時才會重。

證明：將時針視為靜止，考察分針，秒針對它的相對速度：

12個小時作為時間單位“1”，“圈/12小時”作為速度單位，

則分針?biāo)俣葹?1，秒針?biāo)俣葹?19。

由于11與719互質(zhì)，記12小時/(11_719)為時間單位Δ，

則分針與時針重合當(dāng)且僅當(dāng) t=719kΔ k∈Z

秒針與時針重合當(dāng)且僅當(dāng) t=11jΔ j∈Z

而719與11的最小公倍數(shù)為11_719，所以若t=0時三針重合，則下一次三針重合

必然在t=11_719_Δ時，即t=12點(diǎn)。

小學(xué)生簡單數(shù)學(xué)智力題及答案

1、魚缸內(nèi)有10條魚，死了2條，問魚缸內(nèi)還有多少條魚?

答案：魚缸一共有10條魚。

2、1個孩子用6分鐘吃完一個漢堡包，問3個孩子同一時間各吃1個漢堡包用多少分鐘?

答案：需要6分鐘。

3、一組小朋友玩老鷹捉小雞，有一位扮演老鷹，一位做母雞，還有8個做小雞。請問再來3組，一共有幾位小朋友?

答案：一共有30個小朋友。

4、小朋友排隊，從左向右數(shù)小紅排第7，從右向左數(shù)小紅排第8，這一排隊伍一共多少人?

答案：這排隊伍一共有14個小朋友。

5、老實(shí)說：8個小朋友玩捉迷藏，已抓住4個還剩幾個?

答案：還剩下3個。

6、有兩杯果汁，寶寶先喝了半杯，媽媽又倒?jié)M了;寶寶又喝了半杯，媽媽又倒?jié)M了，最后寶寶都喝完了，請問寶寶共喝了幾杯?

答案：一共喝了三杯。

7、草莓和桃子各代表一個數(shù)，草莓加桃子等于7，草莓加草莓等于8，草莓和桃子各是幾?

答案：草莓是4個，桃子是3個。

8、小芳買拼音本用了6角錢，還剩4角錢，小芳原來有幾角錢?合多少元?

答案：小芳原來有10角，也就是合起來是1元。

9、公共汽車上，第一站上來5個人，第二站下去2人，第三站上來3人，問：車上剩幾個人，售票阿姨賣了幾張票?

答案：可以8，也可以是6。

10、哥哥4個蘋果,姐姐有3個蘋果,弟弟有8個蘋果,哥哥給弟弟1個后，弟弟吃了3個，這時誰的蘋果多?

答：姐姐的蘋果不變?nèi)匀皇?個，哥哥有4-1=3(個)蘋果，弟弟有8+1-3=6(個)蘋果，這時弟弟的蘋果最多。

11、小明今年6歲，小強(qiáng)今年4歲，2年后，小明比小強(qiáng)大幾歲?

答：年齡差不變，小明一直比小強(qiáng)大6-4=2(歲)

12、同學(xué)們排隊做操，小明前面有4個人，后面有4個人，這一隊一共有多少人?

答：小明前后各4人，再算上小明共有4+4+1=9(人)

13、有一本書，小華第一天看了2頁，以后每一天都比前一天多看2頁，第4天看了多少頁?

答：第二天看了2+2=4(頁)，第三天看了4+2=6(頁)，第四天看了6+2=8(頁)

14、同學(xué)們排隊做操，從前面數(shù)，小明排第4，從后面數(shù)，小明排第5，這一隊一共有多少人?

答：兩次數(shù)的時候都數(shù)了小明，小明被重復(fù)數(shù)了，需要減去，所以這一隊共有4+5-1=8(人)

簡單數(shù)學(xué)智力題及答案

1、小林吃了8塊餅干后，小林現(xiàn)在有4塊餅干，小林原來有多少塊餅干?

答：8+4=12(塊)

2、哥哥送給弟弟5支鉛筆后，還剩6支，哥哥原來有幾支鉛筆?

答：6+5=11(支)

3、第二中隊有8名男同學(xué)，女同學(xué)的人數(shù)跟男同學(xué)同樣多，第二中隊共有多少名同學(xué)?

答：8+8=16(人)

4、大華和小剛每人有10張畫片，大華給小剛2張后，小剛比大華多幾張?

答：大華有10-2=8(張)，小剛有10+2=12(張)，12-8=4(張)

5、貓媽媽給小白5條魚，給小花4條魚，小白和小花共吃了6條，它們還有幾條?

答：5+4-6=3(條)

6、同學(xué)們到體育館借球，一班借了9只，二班借了6只。體育館的球共減少了幾只?

答：9+6=15(只)

7、明明從布袋里拿出5個白皮球和5個花皮球后，白皮球剩下10個，花皮球剩下5個。布袋里原來有多少個白皮球，多少個花皮球?

答：5+10=15(個)……白皮球5+5=10(個)……花皮球

8、芳芳做了14朵花，晶晶做了8朵花，芳芳給晶晶幾朵花，兩人的花就一樣多?

答：14-8=6(朵)，6=3+3，所以芳芳給晶晶3朵花，兩人的花就一樣多了。

9、媽媽買回一些鴨蛋和12個雞蛋，吃了8個雞蛋后，剩下的雞蛋和鴨蛋同樣多，問媽媽一共買回幾個蛋?

答：12-8=4(個)……鴨蛋，12+4=16(個)

10、草地上有10只羊，跑走了3只白山羊，又來了7只黑山羊，現(xiàn)在共有幾只羊?

答：10-3+7=14(只)

11、冬冬有5支鉛筆，南南有9支鉛筆，冬冬再買幾支就和南南的一樣多?

答：9-5=4(支)

12、小芳家距學(xué)校2千米，一次他上學(xué)走了1千米，想起忘帶鉛筆盒，又回家去取。這次他到學(xué)校共走了多少千米?

答：1+1+2=4(千米)

13、馬戲團(tuán)有1只老虎，3只猴子，黑熊和老虎一樣多，問馬戲團(tuán)有幾只動物?

答：1+1+3=5(只)