小學生智力題及答案一：乒乓球問題

　　假設排列著100個乒乓球，由兩個人輪流拿球裝入口袋，能拿到第100個乒乓球的人為勝利者。條件是：每次拿球者至少要拿1個，但最多不能超過5個，問：如果你是最先拿球的人，你該拿幾個?以后怎么拿就能保證你能得到第100個乒乓球?

　　解題思路：

　　1、我們不妨逆向推理，如果只剩6個乒乓球，讓對方先拿球，你一定能拿到第6個乒乓球。理由是：如果他拿1個，你拿5個;如果他拿2個，你拿4個;如果他拿3個，你拿3個;如果他拿4個，你拿2個;如果他拿5個，你拿1個。

　　2、我們再把100個乒乓球從后向前按組分開，6個乒乓球一組。100不能被6整除，這樣就分成17組;第1組4個，后16組每組6個。

　　3、這樣先把第1組4個拿完，后16組每組都讓對方先拿球，自己拿完剩下的。這樣你就能拿到第16組的最后一個，即第100個乒乓球。

　　參考答案：

　　先拿4個，他拿n個，你拿6-n，依此類推，保證你能得到第100個乒乓球。(1<=n<=5)

　　試題擴展：

　　1、假設排列著100個乒乓球，由兩個人輪流拿球裝入口袋，能拿到第100個乒乓球的人為勝利者。條件是：每次拿球者至少要拿2個，但最多不能超過7個，問：如果你是最先拿球的人，你該拿幾個?以后怎么拿就能保證你能得到第100個乒乓球?(先拿1個，他拿n個，你拿9-n，依此類推)

　　2、假設排列著X個乒乓球，由兩個人輪流拿球裝入口袋，能拿到第X個乒乓球的人為勝利者。條件是：每次拿球者至少要拿Y個，但最多不能超過Z個，問：如果你是最先拿球的人，你該拿幾個?以后怎么拿就能保證你能得到第X個乒乓球?(先拿X/(Y+Z)的余數個，他拿n個，你拿(Y+Z)-n，依此類推。當然必須保證X/(Y+Z)的余數不等于0)

　　小學生智力題及答案二：分割金條

　　你讓工人為你工作7天，給工人的回報是一根金條。金條平分成相連的7段，你必須在每天結束時給他們一段金條，如果只許你兩次把金條弄斷，你如何給你的工人付費?

　　解題思路：

　　本題實質問題是數字表示問題。由1、2兩個數字可表示1-3三個數字。由1、2、4三個數字可表示1-7七個數字(即1，2，1+2，4，4+1，4+2，4+2+1)。由1、2、4、8四個數字可表示1-15十五個數字。依此類推。

　　參考答案：

　　把金條分成1/7、2/7和4/7三份。這樣，第1天我就可以給他1/7;第2天我給他2/7，讓他找回我1/7;第3天我就再給他1/7，加上原先的2/7就是3/7;第4天我給他那塊4/7，讓他找回那兩塊1/7和2/7的金條;第5天，再給他1/7;第6天和第2天一樣;第7天給他找回的那個1/7。

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　　試題拓展：

　　1、你讓工人為你工作15天，給工人的回報是一根金條。金條平分成相連的15段，你必須在每天結束時給他們一段金條，如果只許你三次把金條弄斷，你如何給你的工人付費?(1/15，2/15，4/15，8/15)

　　2、你讓工人為你工作31天，給工人的回報是一根金條。金條平分成相連的31段，你必須在每天結束時給他們一段金條，如果只許你四次把金條弄斷，你如何給你的工人付費?(1/31，2/31，4/31，8/31，16/31)

　　3、你讓工人為你工作(2^n)-1天，給工人的回報是一根金條。金條平分成相連的(2^n)-1段，你必須在每天結束時給他們一段金條，如果只許你n-1次把金條弄斷，你如何給你的工人付費?(1/((2^n)-1)，2/((2^n)-1)，4/((2^n)-1)，...)

　　4.人民幣為什么只有1、2、5、10的面值?(便于找零錢。理想狀態下應是1、2、4、8，在現實生活中常用10進制，故將4、8變為5、10。只要2有兩個，1、2、2、5、10五個數字可表示1-20。)

　　小學生智力題及答案三：喝汽水問題

　　1元錢一瓶汽水，喝完后兩個空瓶換一瓶汽水，問：你有20元錢，最多可以喝到幾瓶汽水?

　　解題思路1：

　　一開始20瓶沒有問題，隨后的10瓶和5瓶也都沒有問題，接著把5瓶分成4瓶和1瓶，前4個空瓶再換2瓶，喝完后2瓶再換1瓶，此時喝完后手頭上剩余的空瓶數為2個，把這2個瓶換1瓶繼續喝，喝完后把這1個空瓶換1瓶汽水，喝完換來的那瓶再把瓶子還給人家即可，所以最多可以喝的汽水數為：20+10+5+2+1+1+1=40

　　解題思路2：

　　先看1元錢最多能喝幾瓶汽水。喝1瓶余1個空瓶，借商家1個空瓶，2個瓶換1瓶繼續喝，喝完后把這1個空瓶還給商家。即1元錢最多能喝2瓶汽水。20元錢當然最多能喝40瓶汽水。

　　解題思路3：

　　兩個空瓶換一瓶汽水，可知純汽水只值5角錢。20元錢當然最多能喝40瓶的純汽水。N元錢當然最多能喝2N瓶汽水。

　　參考答案：

　　40瓶

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　　試題拓展：

　　1、1元錢一瓶汽水，喝完后兩個空瓶換一瓶汽水，問：你有N元錢，最多可以喝到幾瓶汽水?(答案2N)

　　2、9角錢一瓶汽水，喝完后三個空瓶換一瓶汽水，問：你有18元錢，最多可以喝到幾瓶汽水?(答案30)

　　3、1元錢一瓶汽水，喝完后四個空瓶換一瓶汽水，問：你有15元錢，最多可以喝到幾瓶汽水?(答案20)

　　小學生智力題及答案四：燃繩問題

　　燒一根不均勻的繩，從頭燒到尾總共需要1個小時。現在有若干條材質相同的繩子，問如何用燒繩的方法來計時一個小時十五分鐘呢?

　　解題思路：

　　燒一根這樣的繩，從頭燒到尾1個小時。由此可知，頭尾同時燒共需半小時。同時燒兩根這樣的繩，一個燒一頭，一個燒兩頭;當燒兩頭的繩燃盡時，共要半小時，燒一頭的繩繼續燒還需半小時;如果此時將燒一頭的繩的另一頭也點燃，那么只需十五分鐘。

　　參考答案：

　　同時燃兩根這樣的繩，一個燒一頭，一個燒兩頭;等一根燃盡，將另一根掐滅備用。標記為繩2。再找一根這樣的繩，標記為繩1。一頭燃繩1需要1個小時，再兩頭燃繩2需十五分鐘，用此法可計時一個小時十五分鐘。

　　小學生智力題及答案五：鬼谷考徒

　　孫臏，龐涓都是鬼谷子的徒弟;一天鬼出了這道題目：他從2到99中選出兩個不同的整數，把積告訴孫，把和告訴龐。

　　龐說：我雖然不能確定這兩個數是什么，但是我肯定你也不知道這兩個數是什么。

　　孫說：我本來的確不知道，但是聽你這么一說，我現在能夠確定這兩個數字了。

　　龐說：既然你這么說，我現在也知道這兩個數字是什么了。

　　問這兩個數字是什么?為什么?

　　解題思路1：

　　假設數為 X,Y;和為X+Y=A,積為X*Y=B.

　　根據龐第一次所說的：“我肯定你也不知道這兩個數是什么”。由此知道，X+Y不是兩個素數之和。那么A的可能11,17,23,27,29,35,37,41,47,51,53,57,59,65,67,71,77,79,83,87,89,95,97.

　　我們再計算一下B的可能值：

　　和是11能得到的積:18,24,28,30

　　和是17能得到的積:30,42,52,60,66,70,72

　　和是23能得到的積:42,60...

　　和是27能得到的積:50,72...

　　和是29能得到的積:...

　　和是35能得到的積:66...

　　和是37能得到的積:70...

　　......

　　我們可以得出可能的B為....，當然了，有些數(30=5*6=2*15)出現不止一次。

　　這時候，孫依據自己的數比較計算后，“我現在能夠確定這兩個數字了。”

　　我們依據這句話，和我們算出來的B的集合，我們又可以把計算出來的B的集合刪除一些重復數。

　　和是11能得到的積:18,24,28

　　和是17能得到的積:52

　　和是23能得到的積:42,76...

　　和是27能得到的積:50,92...

　　和是29能得到的積:54,78...

　　和是35能得到的積:96,124...

　　和是37能得到的積:,...

　　......

　　因為龐說：“既然你這么說，我現在也知道這兩個數字是什么了。”那么由和得出的積也必須是唯一的，由上面知道只有一行是剩下一個數的，那就是和17積52。 那么X和Y分別是4和13。

　　解題思路2：

　　說話依次編號為S1，P1，S2。

　　設這兩個數為x，y，和為s，積為p。

　　由S1，P不知道這兩個數，所以s不可能是兩個質數相加得來的，而且s<=41，因為如果s>41，那么P拿到41×(s-41)必定可以猜出s了(關于這一點，參考老馬的證明，這一點很巧妙，可以省不少事情)。所以和s為{11，17，23，27，29，35，37，41}之一，設這個集合為A。

　　1).假設和是11。11=2+9=3+8=4+7=5+6，如果P拿到18，18=3×6=2×9，只有2+9落在集合A中，所以P可以說出P1，但是這時候S能不能說出S2呢?我們來看，如果P拿到24，24=6×4=3×8=2×12，P同樣可以說P1，因為至少有兩種情況P都可以說出P1，所以A就無法斷言S2，所以和不是11。

　　2).假設和是17。17=2+15=3+14=4+13=5+12=6+11=7+10=8+9，很明顯，由于P拿到4×13可以斷言P1，而其他情況，P都無法斷言P1，所以和是17。

　　3).假設和是23。23=2+21=3+20=4+19=5+18=6+17=7+16=8+15=9+14=10+13=11+12，咱們先考慮含有2的n次冪或者含有大質數的那些組，如果P拿到4×19或7×16都可以斷言P1，所以和不是23。

　　4).假設和是27。如果P拿到8×19或4×23都可以斷言P1，所以和不是27。

　　5).假設和是29。如果P拿到13×16或7×22都可以斷言P1，所以和不是29。

　　6).假設和是35。如果P拿到16×19或4×31都可以斷言P1，所以和不是35。

　　7).假設和是37。如果P拿到8×29或11×26都可以斷言P1，所以和不是37。

　　8).假設和是41。如果B拿到4×37或8×33，都可以斷言P1，所以和不是41。

　　綜上所述：這兩個數是4和13。

　　解題思路3：

　　孫龐猜數的手算推理解法

　　1)按照龐的第一句話的后半部分，我們肯定龐知道的和S肯定不會大于54。

　　因為如果和54<S<54+99，那么S可以寫為S=53+a，a<=99。如果鬼谷子選的兩個數字

　　恰好是53和a，那么孫知道的積M就是M=53*a，于是孫知道，這原來兩個數中至少有

　　一個含有53這個因子，因為53是個素數。可是小于100，又有53這個因子的，只能是

　　53本身，所以孫就可以只憑這個積53*a推斷出這兩個數術53和a。所以如果龐知道的

　　S大于54的話，他就不敢排除兩個數是53和a這種可能，也就不敢貿然說“但是我肯定

　　你也不知道這兩個數是什么”這種話。

　　如果53+99<S<=97+99，那么S可以寫為S=97+a，同以上推理，也不可能。

　　如果S=98+99，那么龐可以立刻判斷出，這兩個數只能是98和99，而且M只能是98*99，

　　孫也可以知道這兩個術，所以顯然不可能。

　　2)按照龐的第一句話的后半部分，我們還可以肯定龐知道的和S不可以表示為兩個素數的和。

　　否則的話，如果鬼谷子選的兩個數字恰好就是這兩個素數，那么孫知道積M后，就可以得到唯一的素因子分解，判斷出結果。于是龐還是不敢說“但是我肯定你也不知道這兩個數是什么”這種話。

　　根據哥德巴赫猜想，任何大于4的偶數都可以表示為兩個素數之和，對54以下的偶數，猜想肯定被驗證過，所以S一定不能是偶數。

　　另外型為S=2+p的奇數，其中p是奇素數的那些S也同樣要排除掉。

　　還有S=51也要排除掉，因為51=17+2*17。如果鬼谷子選的是(17,2*17)，那么孫知道

　　的將是M=2*17*17，他對鬼谷子原來的兩數的猜想只能是(17,2*17)。(為什么51要單獨拿出來，要看下面的推理)

　　3)于是我們得到S必須在以下數中：

　　11 17 23 27 29 35 37 41 47 53

　　另外一方面，只要龐的S在上面這些數中，他就可以說“但是我肯定你也不知道這兩個

　　數是什么”，因為這些數無論怎么拆成兩數和，都至少有一個數是合數(必是一偶一

　　奇，如果偶的那個大于2，它就是合數，如果偶的那個等于2，我們上面的步驟已經保

　　證奇的那個是合數)，也就是S只能拆成

　　a) S=2+a*b　或　b) S=a+2^n*b

　　這兩個樣子，其中a和b都是奇數，n>=1。

　　那么(下面我說的“至少兩組數”中的兩組數都不相同，而且的確存在(也就是那些

　　數都小于100)的理由我就不寫了，根據條件很顯然)

　　a)或者孫的M=2*a*b，孫就會在(2*a,b)和(2,a*b)至少兩組數里拿不定主意(a和

　　b都是奇數，所以這兩組數一定不同);

　　b)或者M=2^n*a*b，

　　如果n>1，那么孫就會在(2^(n-1)*a,2*b)和(2^n*a,b)至少兩組數里拿不定主意;

　　如果n=1，而且a不等于b，那么孫就會在(2*a,b)和(2b,a)至少兩組數里拿不定主

　　意;

　　如果n=1，而且a等于b，這意味著S=a+2*a=3a，所以S一定是3的倍數，我們只要

　　討論S=27就可以了。27如果被拆成了S=9+18，那么孫拿到的M=9*18，他就會在

　　(9，18)和(27,6)至少兩組數里拿不定主意。

　　(上面對51的討論就是從這最后一種情況的討論發現的，我不知道上面的論證是否

　　過分煩瑣了，但是看看51這個“特例”，我懷疑嚴格的論證可能就得這么煩)

　　現在我們知道，當且僅當龐得到的和數S在

　　C={11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53}

　　中，他才會說出“我雖然不能確定這兩個數是什么，但是我肯定你也不知道這兩個數

　　是什么”這句話

　　孫臏可以和我們得到同樣的結論，他還比我們多知道那個M。

　　4)孫的話“我現在能夠確定這兩個數字了”表明，他把M分解成素因子后，然后組合成

　　關于鬼谷子的那兩個數的若干個猜想中，有且僅有一個猜想的和在C中。否則的話，他

　　還是會在多個猜想之間拿不定主意。

　　龐涓聽了孫的話也可以得到和我們一樣的結論，他還比我們多知道那個S。

　　5)龐的話“我現在也知道這兩個數字是什么了”表明，他把S拆成兩數和后，也得到了

　　關于鬼谷子的那兩個數的若干個猜想，但是在所有這些拆法中，只有一種滿足4)里的

　　條件，否則他不會知道究竟是哪種情況，使得孫臏推斷出那兩個數來。

　　于是我們可以排除掉C中那些可以用兩種方法表示為S=2^n+p的S，其中n>1，p為素數。

　　因為如果S=2^n1+p1=2^n2+p2，無論是(2^n1,p1)還是(2^n2,p2)這兩種情況，孫臏都

　　可以由M=2^n1*p1或M=2^n2*p2來斷定出正確的結果，因為由M得到的各種兩數組合，

　　只有(2^n,p)這樣的組合，兩數和才是奇數，從而在C中，于是孫臏就可以宣布自己知道

　　了是怎么回事，可龐涓卻還得為(2^n1,p1)還是(2^n2,p2)這兩種情況犯愁。

　　因為11=4+7=8+3，23=4+19=16+7，27=4+23=16+11，35=4+31=16+19，37=8+29=32+5，

　　47=4+43=16+31。于是S的可能值只能在

　　17 29 41 53

　　中。讓我們繼續縮小這個表。

　　29不可能，因為29=2+27=4+25。無論是(2,27)和(4,25)，孫臏都可以正確判斷出來：

　　a)如果是(2,27)，M=2*27=2*3*3*3，那么孫可以猜的組合是(2,27)(3,18)(6,9)，

　　后面兩種對應的S為21和15，都不在C中，故不可能，于是只能是(2,27)。

　　b)如果是(4,25)，M=4*25=2*2*5*5，那么孫可以猜的組合是(2,50)(4,25)(5,20)

　　(10,10)。只有(4,25)的S才在C中。

　　可是龐涓卻要為孫臏的M到底是2*27還是4*25苦惱。

　　41不可能，因為41=4+37=10+31。后面推理略。

　　53不可能，因為53=6+47=16+37。后面推理略。

　　研究一下17。這下我們得考慮所有17的兩數和拆法：

　　(2,15)：那么M=2*15=2*3*5=6*5，而6+5=11也在C中，所以一定不是這個M，否則4)

　　的條件不能滿足，孫“我現在能夠確定這兩個數字了”的話說不出來。

　　(3,14)：那么M=3*14=2*3*7=2*21，而2+21=23也在C中。后面推理略。

　　(4,13)：那么M=4*13=2*2*13。那么孫可以猜的組合是(2,26)(4,13)，只有(4,13)

　　的和在C中，所以這種情況孫臏可以說4)中的話。

　　(5,12)：那么M=5*12=2*2*3*5=3*20，而3+20=23也在C中。后面推理略。

　　(6,11)：那么M=6*11=2*3*11=2*33，而2+33=35也在C中。后面推理略。

　　(7,10)：那么M=7*10=2*5*7=2*35，而2+35=37也在C中。后面推理略。

　　(8,9)：那么M=8*9=2*2*2*3*3=3*24，而3+24=27也在C中。后面推理略。

　　于是在S=17時，只有(4,13)這種情況，孫臏才可以猜出那兩數是什么，既然如此，龐涓就知道這兩個數是什么，說出“我現在也知道這兩個數字是什么了”。聽了龐涓的話，于是我們也知道，這兩數該是(4,13)。

　　參考答案：

　　這兩個數字是4和13。原因同上。

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　　試題拓展：

　　你有>1并且<30的兩個不同的數字只把和告訴甲，然后只把積告訴乙。

　　甲對乙說：“我不知道這兩個數字是什么，但你也肯定不知道。”

　　乙就說了：“我本來不知道的，你這么一說，我就知道兩個數字是什么了。”

　　甲于是說：“現在我也知道了!”

　　請問這兩個數字是分別是什么? (答案：4和13。)