《分式方程》教學設計

　　(一)知識與技能

　　理解分式方程與整式方程的區別，并掌握解分式方程的一般步驟。

　　(二)過程與方法

　　通過具體例子,讓學生獨立探索方程的解法,經歷和體會解分式方程的必要步驟，使學生進一步了解數學思想中的"轉化"思想 。

　　(三)情感、態度與價值觀

　　培養學生自覺反思求解過程和自覺檢驗的良好習慣,培養嚴謹的治學態度。

　　教學重點：探索如何將分式方程轉化為整式方程并掌握解分式方程的一般步驟

　　教學難點 ：探索分式方程產生增根的原因。

　　教學過程

　　一.創設情境，導入新課：

　　為幫助四川受災的人們重建家園，某中學號召同學們自愿捐款。已知第一次捐款總額為2000元，第二次捐款總額為2150元，第二次捐款人數比第一次多15人，而且兩次人均捐款額恰好相等。

　　根據以上信息你能分別求出兩次捐款的人數嗎?

　　若設第一次捐款人數為X人，第二次捐款人數為 ( ) 人。

　　根據相等關系列方程為( )。

　　這個方程的分母中含有未知數，與以前學過的方程不同，這就是我們這節課要學習的分式方程。(板書課題)

　　二.新課學習：

　　(一).分式方程的定義：

　　分母中含有未知數的方程叫做分式方程

　　以前學過的像一元一次方程、二元一次方程等這類分母中不含有未知數的方程叫整式方程

　　反饋練習

　　(二).探索分式方程的解法

　　1.回顧整式方程的解法

　　解方程 (解上面練習中的第三題)

　　師生共同回顧：解整式方程的步驟

　　(1)去分母,(2)去括號, (3)移項, (4)合并同類項, (5)化未知x的系數為1

　　2.如何解分式方程呢?

　　(學生嘗試完成，然后集體補充步驟)

　　解方程：2000∕X=2150/X+15

　　解：方程兩邊同時乘以X(X+15)，得

　　2000(X+15)=2150X

　　解這個整式方程，得

　　x=200

　　則200+15=215

　　檢驗：把x=200代入原方程，

　　因為 左邊=10　　　　右邊=10

　　所以 左邊=右邊

　　所以x=200是原方程的解。

　　3.歸納解分式方程的步驟

　　一是去分母，二是解整式方程，三是檢驗

　　4.例題解方程：

　　(生獨立完成，師指導)

　　分式方程的增根：不適合原方程的整式方程的根,叫原方程的增根.

　　師：解分式方程必須進行檢驗!

　　[師]怎樣檢驗較簡單呢?還需要將整式方程的根分別代入原方程的左、右兩邊嗎?

　　[生]最簡單的檢驗方法是:把整式方程的根代入最簡公分母.若使最簡公分母為零,則是原方程的增根;若使最簡公分母不為零,則是原方程的根.是增根,必舍去。

　　三.應用升華

　　四.小結

　　本節課我們學會了解分式方程,明白了解分式方程的三個步驟缺一不可，我明白了分式方程轉化為整式方程為什么會產生增根。

　　《分式方程》知識點總結

　　知識點精講

　　1.分式方程:分母中含有 　　　 的方程叫分式方程.

　　2.解分式方程的一般步驟：

　　(1)去分母，在方程的兩邊都乘以 　 ，約去分母，化成整式方程;

　　(2)解這個整式方程;

　　(3)驗根，把整式方程的根代入 　 ，看結果是不是零，使最簡公分母為零的根是原方程的增根，必須舍去.

　　3. 用換元法解分式方程的一般步驟：

　　① 設輔助未知數，并用含輔助未知數的代數式去表示方程中另外的代數式;② 解所得到的關于輔助未知數的新方程，求出輔助未知數的值;③ 把輔助未知數的值代入原設中，求出原未知數的值;④ 檢驗作答.

　　4.分式方程的應用：

　　分式方程的應用題與一元一次方程應用題類似，不同的是要注意檢驗：

　　(1)檢驗所求的解是否是所列 ;(2)檢驗所求的解是否 　 .

　　5.易錯知識辨析：

　　(1)去分母時，不要漏乘沒有分母的項.

　　(2) 解分式方程的重要步驟是檢驗，檢驗的方法是可代入最簡公分母, 使最簡公分母為0的值是原分式方程的增根,應舍去,也可直接代入原方程驗根.

　　(3)如何由增根求參數的值：①將原方程化為整式方程;②將增根代入變形后的整式方程，求出參數的值.

　　三.例題分析與跟蹤訓練

　　知識點1 分式方程解法

　　例1解分式方程：

　　分析：按照去分母、移項、合并同類項、系數化為1的步驟解分式方程，對得到的方程的解一定要檢驗是否為增根。

　　解：去分母，得

　　解得

　　經檢驗 是原方程的解

　　所以原方程的解是 .

　　方法點撥：對求出的方程的解一定要進行檢驗，此點最易忽略。

　　跟蹤訓練1：分式方程 的解為( )

　　A.1 B.-1 C.-2　 D.-3

　　知識點2 增根的意義

　　例2若關于 的分式方程 無解，則 .

　　分析：本題考查了分式方程增根的意義。根據分式方程求解出的未知數的值，若使分式方程任一分母為零，則為增根，即原方程無解。

　　解：1或-2

　　方法點撥：理解分式方程增根的意義是解答此類問題的關鍵。

　　跟蹤訓練2：關于x的方程 的解是正數，則a的取值范圍是

　　A.a>-1 B.a>-1且a≠0

　　C.a<-1 D.a<-1且a≠-2

　　知識點3換元法解分式方程

　　例3：用換元法解分式方程時，如果設 ，將原方程化為關于 的整式方程，那么這個整式方程是( )

　　A. B.

　　C. D.

　　分析： 利用轉化思想，將代入原分式方程，并進行去分母以轉化為整式方程。

　　解：選A

　　方法點撥：利用轉化思想，將復雜的分式方程轉化為整式方程，在使用換元法時要注意去分母時，最簡公分母的選擇。

　　跟蹤訓練3：解方程 時，若設 ，則方程可化為 .

　　知識點4 分式方程的應用

　　例4：在某鐵路工程中，某路段需要鋪軌.先由甲工程隊獨做2天后，再由乙工程隊獨做3天剛好完成這項任務.已知乙工程隊單獨完成這項任務比甲工程隊單獨完成這項任務多用2天，求甲、乙工程隊單獨完成這項任務各需要多少天?

　　分析：設甲工程隊單獨完成任務需 天，則乙工程隊單獨完成任務需 天，甲、乙所做的任務總和為總工程。

　　解：依題意得 .

　　化為整式方程得

　　解得 或 .

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