2016湖南卷理科數學復習試題和答案
高考很快就到了啦,你們的數學復習得怎么樣呢?以下是學習啦小編為大家推薦有關湖南卷理科的數學復習試題以及參考答案,歡迎大家參閱!
2016湖南卷理科數學復習試題
一、選擇題(本大題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.)
1、已知等差數列 的前 項和為 ,若 ,則 ( )
A. B. C. D.
2、“ ”是“函數 為偶函數”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
3、函數 的單調遞增區間為( )
A. B. C. D.
4、已知 , 是兩條不同的直線, 是一個平面,則下列命題正確的是( )
A.若 , ,則 B.若 , ,則
C.若 , ,則 D.若 , ,則
5、若圓 與 , 軸都有公共點,則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
6、已知函數 ,若存在非零實數 ,使得 成立,則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
7、已知實數 , 滿足 ,若 的最大值為 ,則實數 的取值范圍是( )
A. B. C. D.
8、已知 、 分別是雙曲線 ( , )的左、右焦點,且 是拋物線 ( )的焦點,雙曲線 與拋物線 的一個公共點是 .若線段 的中垂線恰好經過焦點 ,則雙曲線 的離心率是( )
A. B. C. D.
二、填空題(本大題共7小題,第9-12題,每小題6分,第13-15題,每小題4分,共36分.)
9、已知全集為 ,集合 , ,則 ; ; .
10、若函數 ,則 ; .
11、若函數 ,則 的最小正周期為 ; .
12、已知某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為 ;表面積為 .
13、在 中, , , , 是邊 上的動點(含 , 兩個端點).若 ( , ),則 的取值范圍是 .
14、已知棱長為 的正四面體可以在一個單位正方體(棱長為 )內任意地轉動.設 , 分別是正四面體與正方體的任意一頂點,當 達到最大值時, , 兩點間距離的最小值是 .
15、設 ,集合 , ,若 ( 為實數集),則實數 的取值范圍是 .
三、解答題(本大題共5小題,共74分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
16、(本小題滿分15分)在 中,角 , , 的對邊分別為 , , ,且 .已知向量 , ,且 .
若 ,求邊 的值;
求 邊上高 的最大值.
17、(本小題滿分15分)如圖,在四棱錐 中, , 平面 , , , .
求證:平面 平面 ;
若點 在棱 上的射影為點 ,求二面角 的余弦值.
18、(本小題滿分15分)已知二次函數 ( , ).
若 ,且不等式 對 恒成立,求函數 的解析式;
若 ,且函數 在 上有兩個零點,求 的取值范圍.
19、(本小題滿分15分)已知橢圓 ( )的右焦點為 ,上頂點為 .
過點 作直線與橢圓 交于另一點 ,若 ,求 外接圓的方程;
若過點 作直線與橢圓 相交于兩點 , ,設 為橢圓 上動點,且滿足 ( 為坐標原點).當 時,求 面積 的取值范圍.
20、(本小題滿分14分)已知數列 的前 項和記為 ,且滿足 .
求數列 的通項公式;
設 ,記 ,求證: .
2016湖南卷理科數學復習試題答案
一、 選擇題(本大題共有8小題,每小題5分,共40分)
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A D C D B C A
二、填空題(本大題共7小題,9——12每題6分,13——15題每題4分,共36分.)
9. ; ; 10. ;
11. ; 12. ;
13. 14. 15.
三、解答題(本大題共5小題,共74.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)
16.解:(Ⅰ)方法一:由 ,得 ,--------------------------------2分
即 ,得 ,-----------------------------------------------4分
又 ,所以 ,故 ,即 .--------------6分
結合 ,得
由正弦定理 得, .----------------------------------------------------8分
方法二: 由 ,得 ,----------------------------------------------2分
則 ,又 ,故 ,
即 ,--------------------------------------------------------------------------------------4分
又 ,所以 ,故 ,即 .--------------------------------6分
結合 ,得 .
由正弦定理 得, .-------------------------------------------------------8分
(Ⅱ) 設 邊上的高為 ,則 ,----------10分
即 , , -----------------14
(等號成立當且僅當 )
所以 ,因此 ,
所以 邊上的高 的最大值為 . -----------------------------------------------15分
17.(Ⅰ)證明:因為 平面 ,所以 , …………………………2分
又因為 ,所以 平面 , ………………………4分
所以平面 平面 . …………………………5分
(Ⅱ)解法1:先考查二面角 和二面角 ,
因為 面 ,所以 ,又因為 ,
所以 面 ,所以 , ,
所以 即二面角的 一個平面角, ……………………7分
因為 , ……………………9分, ……………………11分
所以 ,
所以 ……………………12分
……………………13分
, ……………………14分
所以 ,
所以二面角 的余弦值為 . ……………………15分
解法2:因為 面 ,所以 ,又因為 ,
所以 面 ,所以 , ,
所以 即為二面角的 一個平面角. …………………8分
因為 ,所以 , , …………………………10分
所以 , , …………………12分
又因為直角梯形 可得 , …………………………13分
所以 , …………………………………14分
所以 ,
所以二面角 的余弦值為 . ……………………………15分
解法3:如圖所示,以 為 軸,以 為 軸,過 作 軸,建立空間直角坐標系,則可知 , , , , ,……8分
則 , .
設平面 的一個法向量是 ,可得:
即 .……………………………………………10分
同理可得 的一個法向量是 , ……………………………………12分
所以二面角 的余弦值為 . ………………………15分
18.解:(Ⅰ)因為 ,所以 ,---------------------------------------3分
因為當 ,
都有 ,所以有 , --------------------------6分
即 ,所以 ; --------------------------------------------7分
(Ⅱ)解法1:因為 在 上有兩個零點,且 ,
所以有 -------------------------11分
(圖正確,答案錯誤,扣2分)
通過線性規劃可得 . ---------------------------------------------15分
(若答案為 ,則扣1分)
解法2:設 的兩個零點分別 ,所以 ,--------9分
不妨設 , ,--------------------------------------------------------------11分
因為 ,且 , ,----------------13分
所以 ,所以 .-------------------------------------------------15分
(若答案為 ,則扣1分)
19.解:(Ⅰ) 由右焦點為 ,上頂點為 得 ,
所以 .-------------------------------------------------------------------------3分
( 每個1分)
所以橢圓方程為 ,
因為 ,可求得點 ,--------------------------------4分
因為 為直角三角形, 中點坐標 ,且 ,
所以 外接圓方程為 .--------------------6分
(Ⅱ)設過點 的直線方程為 , --------------------------------------------7分
兩點的坐標分別為 , ,
聯立方程 得 , ,
因為 , ,-------------------------------------------------9分
所以
,------------11分
因為 ,所以點 ,
因為點 在橢圓C上,
所以有 ,
化簡得 ,
因為 ,所以得
,化簡 ,-------13分
因為 ,所以 ,
因為 ,
令 ,所以 ,
令 ,因為 在 上單調遞減,在 上單調遞增,
所以 .--------------------------------------------------------------------------------15分
20.解:(Ⅰ)當 時, ,解得 ,---------------------------------------------1分
當 時, ,
,-----------------------------------------------------------------------2分
兩式相減得: ,
即 , ------------------------------------------------------------------------------------------5分
所以 是以 為首項, 為公比的等比數列,所以 ,------------------6分
(Ⅱ)證法1:當 為偶數時,
----------------------------7分
,--------------------------------10分 = ;-----------11分
當 是奇數時, .
綜上可知 .---------------------------------------------------------------------------------14分
證法2:當 時, , , , 不等式顯然成立-------8分
當 時,要證明 ,
只要證明 ,
只要證明 . --------9分
又因為當 時, , 即
故
而
-----------------------------------------------12分
----------------------------------------------------------------------13分
.-------------------------------------------------------------------------------14分