掌握直線與圓相交、相切、相離三種位置關系，并會求圓的切線方程及與弦長等有關直線與圓的問題。以下是學習啦小編整理了高二數學教案：直線和圓的位置關系，希望對你的學習有幫助。

　　教學目的

　　〖知識目標〗

　　1.掌握直線與圓相交、相切、相離三種位置關系，并會求圓的切線方程及與弦長等有關直線與圓的問題。

　　2.在解決直線與圓的位置關系的問題時,常通過”數”與”形”的結合,充分利用圓心的幾何性質、簡化運算.如利用圓心到直線的距離討論直線與圓的位置關系,利用過切點的半徑、弦心距及半徑構成的三角形去解決與弦長有關的問題.

　　〖能力目標〗 培養數形結合的思想、多方位多渠道解決問題能力。

　　教學重點與難點

　　重點：三種位置關系的判斷方法、過一點的圓的切線的求法以及弦長問題的解決方法，即圓心到直線的距離在圓與直線關系問題中的運用。

　　難點：利用數形結合的思想分析問題、解決問題。

　　教學過程:

　　一、 課堂引入：

　　前面我們復習了圓的方程、點與圓的位置關系，這課我們復習用圓的方程來解決直線與圓的位置關系。請先做以下練習(教師巡堂以便了解課下預習情況)

　　(1)、判斷直線4x-3y=5與圓x +y =25的位置關系

　　(2)、求圓x +y =25的過點P(3,4)的切線方程.

　　(3)、求圓x +y =25的過點P(5,4)的切線方程.

　　(4)、求圓x +y =25被直線4x-3y-20=0所截得的弦長。

　　(這一部分在引入正課后直接用多媒體投影給出，并由學生快速運算，然后提問結果)

　　二、 知識梳理:

　　提出問題:直線與圓有幾種位置關系,用什么方法來判斷?

　　1 .直線和圓位置關系的判定方法一是方程的觀點，即把圓的方程和直線的方程聯立成方程組，利用判別式Δ來討論位置關系.

　?、?Delta;>0，直線和圓相交.

　　②Δ=0，直線和圓相切.

　?、?Delta;<0，直線和圓相離.

　　方法二是幾何的觀點，即把圓心到直線的距離d和半徑R的大小加以比較.

　?、賒

　?、赿=R，直線和圓相切.

　　③d>R，直線和圓相離.

　　2. 直線和圓相切，這類問題主要是求圓的切線方程.求圓的切線方程主要可分為已知斜率k或已知直線上一點兩種情況，而已知直線上一點又可分為已知圓上一點和圓外一點兩種情況.先判斷點與圓的位置關系，再用切線的性質求方程。

　　1)若點p(x ，y )在圓上，則圓x +y =r ：的切線方程為xx +y y = r ,圓(x-a) +(y-b) =r 的切線方程為(x-a)(x-a)+(y-b)(y -b)= r

　　2)若點p(x0，y0)在圓外：利用圓心到直線的距離等于半徑將切線的斜率求出來，再寫出切線的方程(斜率不存在的切線方程不要遺漏).

　　3. 直線和圓相交，這類問題主要是求弦長以及弦的中點問題.

　　(師生一起歸納,并由教師板書)

　　三、例題解析:

　　例1.(1).設m>0，則直線 (x+y)+1+m=0與圓x2+y2=m(m>0)的位置關系為

　　A.相切 B.相交

　　C.相切或相離 D.相交或相切

　　解析：圓心到直線的距離為d= ，圓半徑為 .

　　∵d-r= - = (m-2 +1)= ( -1)2≥0，

　　∴直線與圓的位置關系是相切或相離.

　　答案：C

　　(2).圓x2+y2-4x+4y+6=0截直線x-y-5=0所得的弦長等于

　　A. B. C.1 D.5

　　解析：圓心到直線的距離為 ，半徑為 ，弦長為2 = .

　　答案：A

　　(進一步說明圓心到直線的距離在直線與圓的關系問題中的重要地位)

　　例2.已知圓滿足截①.y軸所得的弦長為2;②被x軸分兩段弧,其弧長之比為此3:1;③圓心到直線:x-2y=0的距離為 .求該圓的方程.

　　解:設圓的方程為: (x-a)2+(y-b)2=r 則由條件①得 =r (1)

　　又由②得a +1=r (2)

　　又由③得 (3)

　　聯立(1((2)(3),解方程組得a=-1,b=-1,r= 或 a=1,b=1,r=

　　所求圓的方程為: (x+1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2

　　(這是早幾年的一道高考題,在高考復習中經常作為典型例題來用,我的學生對第(2)問的把握可能會有困難,因此,這一問要結合圖形來分析解決.由于學生對解含有絕對值的方程組有畏難情緒,因此,教師板書解題的整個過程,并且鼓勵學生面對這類問題時積極應對,常規方法入手,運算要快而準確)

　　例3 已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=25，直線l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0(m∈R)

　　(1)證明：不論m取什么實數，直線l與圓恒交于兩點;

　　(2)求直線被圓C截得的弦長最小時l的方程.

　　剖析：直線過定點，而該定點在圓內，此題便可解得

　　(先由學生思考,提出他們的解答方案,再由老師補充:由含有一個參數的直線方程入手思考)

　　(1)證明：l的方程(x+y-4)+m(2x+y-7)=0.

　　x+y-4=0， y=1，

　　即l恒過定點A(3，1).

　　∵圓心C(1，2)，|AC|= <5(半徑)，

　　∴點A在圓C內，從而直線l恒與圓C相交于兩點.

　　(2)解：弦長最小時，l⊥AC，由kAC=- ，

　　∴l的方程為2x-y-5=0.

　　思悟小結

　　1.直線和圓的位置關系有且僅有三種：相離、相切、相交.判定方法有兩個：幾何法，比較圓心到直線的距離與圓的半徑間的大小;代數法，看直線與圓的方程聯立所得方程組的解的個數.

　　2.解決直線與圓的位置關系的有關問題，往往充分利用平面幾何中圓的性質使問題簡化

　　【例4】 已知圓的方程為x2+y2+ax+2y+a2=0，一定點為A(1，2)，要使過定點A(1，2)作圓的切線有兩條，求a的取值范圍.

　　解：將圓的方程配方得(x+ )2+(y+1)2= ，圓心C的坐標為(- ，-1)，半徑r= ，

　　條件是4-3a2>0，過點A(1，2)所作圓的切線有兩條，則點A必在圓外，即

　　> .

　　化簡得a2+a+9>0.

　　a2+a+9>0，

　　∴-

　　故a的取值范圍是(- ， )

　　(確定參數的解析幾何問題是學生最薄弱的環節,此題的選擇一方面是鞏固本節課的內容,另一方面也是對直線與圓錐曲線問題中難點的一個分散處理)

　　四﹑課堂小練

　　1.若圓(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有兩個點到直線4x-3y=2的距離等于1，則半徑r的范圍是( )

　　A.(4，6) B.[4，6) C.(4，6] D.[4，6]

　　解析：數形結合法解.

　　答案：A

　　2.(2003年春季北京)已知直線ax+by+c=0(abc≠0)與圓x2+y2=1相切，則三條邊長分別為|a|、|b|、|c|的三角形

　　A.是銳角三角形 B.是直角三角形

　　C.是鈍角三角形 D.不存在

　　解析：由題意得 =1，即c2=a2+b2，∴由|a|、|b|、|c|構成的三角形為直角三角形.

　　答案：B

　　3.(2005年春季北京，11)若圓x2+y2+mx- =0與直線y=-1相切，且其圓心在y軸的左側，則m的值為____________.

　　解析：圓方程配方得(x+ )2+y2= ，圓心為(- ，0).

　　由條件知- <0，即m>0.

　　又圓與直線y=-1相切，則0-(-1)= ，即m2=3，∴m= .

　　答案：

　　4.(2004年福建，13)直線x+2y=0被曲線x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦長等于____________.

　　解析：由x2+y2-6x-2y-15=0，得(x-3)2+(y-1)2=25.

　　知圓心為(3，1)，r=5.

　　由點(3，1)到直線x+2y=0的距離d= = .

　　可得 弦長為2 ，弦長為4 .

　　答案：4

　　5.自點A(-3，3)發出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，求光線l所在直線的方程.

　　解：圓(x-2)2+(y-2)2=1關于x軸的對稱方程是(x-2)2+(y+2)2=1.

　　設l方程為y-3=k(x+3)，由于對稱圓心(2，-2)到l距離為圓的半徑1，從而可得k1=- ，k2=- .故所求l的方程是3x+4y-3=0或4x+3y+3=0.

　　6.已知M(x0，y0)是圓x2+y2=r2(r>0)內異于圓心的一點，則直線x0x+y0y=r2與此圓有何種位置關系?

　　分析：比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小.

　　解：圓心O(0，0)到直線x0x+y0y=r2的距離為d= .

　　∵P(x0，y0)在圓內，∴

　　則有d>r，故直線和圓相離.

　　(課堂練習由多媒體投影給出,學生練完后,打出正確答案和解答過程)

　　五﹑課堂小結

　　1.有關直線和圓的位置關系，一般要用圓心到直線的距離與半徑的大小來確定.

　　2.當直線和圓相切時，求切線方程一般要用圓心到直線的距離等于半徑，求切線長一般要用切線、半徑及圓外點與圓心連線構成的直角三角形;與圓相交時，弦長的計算也要用弦心距、半徑及弦長的一半構成的直角三角形.

　　3.有關圓的問題，注意圓心、半徑及平面幾何知識的應用.

　　六課后作業

　　8.(文)求經過點A(-2，-4)，且與直線l：x+3y-26=0相切于(8，6)的圓的方程.

　　9.已知點P到兩個定點M(-1，0)、N(1，0)距離的比為 ，點N到直線PM的距離為1，求直線PN的方程.

　　10.若直線y=x+k與曲線x= 恰有一個公共點,求k的取值范圍

　　教學設計說明

　　1. 教材分析:這一章是解析幾何的基礎部分,其內容及方法在各類試題中均要涉及,是必須要牢牢掌握的.試題可能以各種形式出現.多以選擇題形式出現,有時也有解答題.即考查基礎知識的應用能力又考查綜合運用知識分析問題和解決問題的能力.利用方程解決直線和圓的位置關系問題是解析幾何的重點,也是直線與圓錐曲線關系的前奏,學好這一部分知識為后面的復習奠定基礎掃清障礙.作為復習課,是要在學生原有的基礎上,通過對直線與圓位置知識的系統化,使學生對基礎知識基本技能的掌握提高一步.所以知識點歸納是本節課的一個重要環節.

　　2. 我所任教的班級是政治普通班,班里基本沒有數學尖子生,班級平均分在多次模擬考試中以70到80分居多,相當一部分學生數學基礎薄弱,缺乏對數學學習的信心和科學的學習方法.概括﹑轉化﹑分析﹑歸納等方面的能力比較欠缺,但是值得一提的學習優勢是筆記認真,習慣記憶,針對這種特點,我在課前讓學生閱讀教材, 自己歸納知識點,一方面加快上課節奏上課,另一方面通過比較使他們對知識的掌握更加系統.文科學生的抽象思維能力較為欠缺,運算速度較慢, 處理運算的方法也較為死板,課堂上也應該注重這方面的教學,并且要常抓不懈.因此,課堂上安排了例題的板書過程.另外,在選擇例題時多以中檔題為主,練習則注重基礎知識的鞏固提高以及題型的變化.

　　3. 課堂教學過程中注意引導學生積極思維,鼓勵學生動手運算,多肯定,多補充少批判,培養學數學的信心.

　　4. 為了擴大課容量,本節課嘗試使用多媒體,幫助學生理解掌握,提高效率