平方差公式教案范例二

　　教學(xué)過程

　　Ⅰ.提出問題,創(chuàng)設(shè)情境

　　[師]你能用簡便方法計算下列各題嗎?

　　(1)2001×1999 (2)998×1002

　　[生甲]直接乘比較復(fù)雜,我考慮把它化成整百,整千的運(yùn)算,從而使運(yùn)算簡單,2001可以寫成2000+1,1999可以寫成2000-1,那么2001×1999可以看成是多項式的積,根據(jù)多項式乘法法則可以很快算出.

　　[生乙]那么998×1002=(1000-2)(1000+2)了.

　　[師]很好,請同學(xué)們自己動手運(yùn)算一下.

　　[生](1)2001×1999=(2000+1)(2000-1)

　　=20002-1×2000+1×2000+1×(-1)

　　=20002-1

　　=4000000-1

　　=3999999.

　　(2)998×1002=(1000-2)(1000+2)

　　=10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2

　　=10002-22

　　=1000000-4

　　=1999996.

　　[師]2001×1999=20002-12

　　998×1002=10002-22

　　它們積的結(jié)果都是兩個數(shù)的平方差,那么其他滿足這個特點(diǎn)的運(yùn)算是否也有這個規(guī)律呢?我們繼續(xù)進(jìn)行探索.

　　Ⅱ.導(dǎo)入新課

　　[師]出示投影片

　　計算下列多項式的積.

　　(1)(x+1)(x-1)

　　(2)(m+2)(m-2)

　　(3)(2x+1)(2x-1)

　　(4)(x+5y)(x-5y)

　　觀察上述算式,你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?運(yùn)算出結(jié)果后,你又發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律?再舉兩例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn).

　　(學(xué)生討論,教師引導(dǎo))

　　[生甲]上面四個算式中每個因式都是兩項.

　　[生乙]我認(rèn)為更重要的是它們都是兩個數(shù)的和與差的積.例如算式(1)是x與1這兩個數(shù)的和與差的積;算式(2)是m與2這兩個數(shù)的和與差的積;算式(3)是2x與1這兩個數(shù)的和與差的積;算式(4)是x與5y這兩個數(shù)的和與差的積.

　　[師]這個發(fā)現(xiàn)很重要,請同學(xué)們動筆算一下,相信你還會有更大的發(fā)現(xiàn).

　　[生]解:(1)(x+1)(x-1)

　　=x2+x-x-1=x2-12

　　(2)(m+2)(m-2)

　　=m2+2m-2m-2×2=m2-22

　　(3)(2x+1)(2x-1)

　　=(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12

　　(4)(x+5y)(x-5y)

　　=x2+5y·x-x·5y-(5y)2

　　=x2-(5y)2

　　[生]從剛才的運(yùn)算我發(fā)現(xiàn):

　　也就是說,兩個數(shù)的和與差的積等于這兩個數(shù)的平方差,這和我們前面的簡便運(yùn)算得出的是同一結(jié)果.

　　[師]能不能再舉例驗(yàn)證你的發(fā)現(xiàn)?

　　[生]能.例如:

　　51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12.

　　即(50+1)(50-1)=502-12.

　　(-a+b)(-a-b)=(-a)·(-a)+(-a)·(-b)+b·(-a)+b·(-b)

　　=(-a)2-b2=a2-b2

　　這同樣可以驗(yàn)證:兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.

　　[師]為什么會是這樣的呢?

　　[生]因?yàn)槔枚囗検脚c多項式的乘法法則展開后,中間兩項是同類項,且系數(shù)互為相反數(shù),所以和為零,只剩下這兩個數(shù)的平方差了.

　　[師]很好.請用一般形式表示上述規(guī)律,并對此規(guī)律進(jìn)行證明.

　　[生]這個規(guī)律用符號表示為:

　　(a+b)(a-b)=a2-b2.其中a、b表示任意數(shù),也可以表示任意的單項式、多項式.

　　利用多項式與多項式的乘法法則可以做如下證明:

　　(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.

　　[師]同學(xué)們真不簡單.老師為你們感到驕傲.能不能給我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律(a+b)(a-b)=a2-b2起一個名字呢?

　　[生]最終結(jié)果是兩個數(shù)的平方差,叫它"平方差公式"怎樣樣?

　　[師]有道理.這就是我們探究得到的"平方差公式",請同學(xué)們分別用文字語言和符號語言敘述這個公式.

　　(出示投影)

　　兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積,等于這兩個數(shù)的平方差.

　　即:(a+b)(a-b)=a2-b2

　　平方差公式是多項式乘法運(yùn)算中一個重要的公式,用它直接運(yùn)算會很簡便,但必須注意符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能應(yīng)用.

　　在應(yīng)用中體會公式特征,感受平方差公式給運(yùn)算帶來的方便,從而靈活運(yùn)用平方差公式進(jìn)行計算

　　(出示投影片)

　　例1:運(yùn)用平方差公式計算:

　　(1)(3x+2)(3x-2)

　　(2)(b+2a)(2a-b)

　　(3)(-x+2y)(-x-2y)

　　例2:計算:

　　(1)102×98

　　(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

　　[師生共析]運(yùn)用平方差公式時要注意公式的結(jié)構(gòu)特征,學(xué)會對號入座.

　　在例1的(1)中可以把3x看作a,2看作b.

　　即:(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22

　　(a+b)(a-b)=a2-b2

　　同樣的方法可以完成(2)、(3).如果形式上不符合公式特征,可以做一些簡單的轉(zhuǎn)化工作,使它符合平方差公式的特征.比如(2)應(yīng)先作如下轉(zhuǎn)化:

　　(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b).

　　如果轉(zhuǎn)化后還不能符合公式特征,則應(yīng)考慮多項式的乘法法則.

　　(作如上分析后,學(xué)生可以自己完成兩個例題.也可以通過學(xué)生的板演進(jìn)行評析達(dá)到鞏固和深化的目的)

　　[例1]解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.

　　(2)(b+2a)(2a-b)=(2a+b)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.

　　(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2.

　　[例2]解:(1)102×98=(100+2)(100-2)

　　=1002-22=10000-4=9996.

　　(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)

　　=y2-22-(y2+5y-y-5)

　　=y2-4-y2-4y+5

　　=-4y+1.

　　[師]我們能不能總結(jié)一下利用平方差公式應(yīng)注意什么?

　　[生]我覺得應(yīng)注意以下幾點(diǎn):

　　(1)公式中的字母a、b可以表示數(shù),也可以是表示數(shù)的單項式、多項式即整式.

　　(2)要符合公式的結(jié)構(gòu)特征才能運(yùn)用平方差公式.

　　(3)有些多項式與多項式的乘法表面上不能應(yīng)用公式,但通過加法或乘法的交換律、結(jié)合律適當(dāng)變形實(shí)質(zhì)上能應(yīng)用公式.

　　[生]運(yùn)算的最后結(jié)果應(yīng)該是最簡才行.

　　[師]同學(xué)們總結(jié)得很好.下面請同學(xué)們完成一組闖關(guān)練習(xí).優(yōu)勝組選派一名代表做總結(jié)發(fā)言.