一般地，形如√a(a≥0)的代數(shù)式叫做二次根式，其中，a 叫做被開方數(shù)。今天學習啦小編將與大家分享：初二數(shù)學二次根式相關知識點解析。具體內(nèi)容如下：

　　二次根式的定義性質(zhì)和概念

　　如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根。a可以是具體的數(shù)，也可以是含有字母的代數(shù)式。

　　即：若 ，則x叫做a的平方根，記作x= 。其中a叫被開方數(shù)。其中正的平方根被稱為算術平方根。

　　關于二次根式概念，應注意：

　　被開方數(shù)可以是數(shù) ，也可以是代數(shù)式。被開方數(shù)為正或0的，其平方根為實數(shù);被開方數(shù)為負的，其平方根為虛數(shù)。

　　二次根式的性質(zhì)：

　　1.任何一個正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)。如正數(shù)a的算術平方根是 ，則a的另一個平方根為﹣ ;最簡形勢中被開方數(shù)不能有分母存在。

　　2.零的平方根是零，即 ;

　　3.有理化根式：如果兩個含有根式的代數(shù)式的積不再含有根式，那么這兩個代數(shù)式互為有理化根式,也稱互為有理化因式。

　　4.無理數(shù)可用有理數(shù)形式表示, 如: 。

　　二次根式的幾何意義

　　1、 (a≥0)[任何一個非負數(shù)都可以寫成一個數(shù)的平方的形式;利用此性質(zhì)在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解];

　　2、 都是非負數(shù);當a≥0時， ;而 中a取值范圍是a≥0， 中取值范圍是全體實數(shù)。

　　3、c= 表示直角三角形內(nèi)，斜邊等于兩直角邊的平方和的根號，即勾股定理推論;

　　4、逆用可將根號外的非負因式移到括號內(nèi)，如

　　﹙a>0﹚ ， ﹙a<0﹚

　　﹙a≥0﹚ ， ﹙a<0﹚

　　5、 注意: ，即具有雙重非負性。

　　算術平方根

　　正數(shù)a的正的平方根和零的平方根統(tǒng)稱為算術平方根，用(a≥0)來表示。

　　0的算術平方根為0.

　　開平方運算

　　求一個非負數(shù)的平方根的運算，叫做開平方。開平方與平方互為逆運算。

　　化簡

　　化簡二次根式是初中階段考試必考的內(nèi)容，初中競賽的題目中也常常會考察這一內(nèi)容。

　　最簡二次根式

　　定義概要(❶被開方數(shù)不含分母❷被開方數(shù)中不含能開得盡的因數(shù)或因式)

　　二次根式化簡一般步驟：

　　①把帶分數(shù)或小數(shù)化成假分數(shù);

　　②把開方數(shù)分解成質(zhì)因數(shù)或分解因式;

　　③把根號內(nèi)能開得盡方的因式或因數(shù)移到根號外;

　　④化去根號內(nèi)的分母，或化去分母中的根號;

　　⑤約分。

　　有理化因式

　　兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果他們的積不含有二次根式，那么這兩個代數(shù)式叫做互為有理化因式

　　注意﹙①他們必須是成對出現(xiàn)的兩個代數(shù)式;②這兩個代數(shù)式都含有二次根式;③這兩個代數(shù)式的積化簡后不再含有二次根式④一個二次根式可以與幾個二次根式互為有理化因式﹚

　　分母有理化

　　在分母含有根號的式子中，把分母的根號化去，叫做分母有理化。

　　分母有理化即將分母從非有理數(shù)轉化為有理數(shù)的過程，以下列出分母有理化的幾種方法：

　　(1)直接利用二次根式的運算法則：

　　例： ﹙a≥0，b>0﹚

　　(2)利用平方差公式：

　　例： ﹙a≥0，b≥0，a≠b﹚[3]

　　(3)利用因式分解：

　　例： (此題可運用待定系數(shù)法便于分子的分解)

　　(4)利用約分：

　　﹙x>0，y>0﹚

　　﹙x>0，y>0﹚

　　分子有理化

　　把分子中的根號化去，叫做分子有理化。

　　﹙a≥0，b≥0，a≠b﹚

　　換元法

　　換元法即把根式中的某一部分用另一個字母代替的方法，是化簡的重要方法之一。

　　例：在根式 中，令 ，即可得到

　　原式=

　　分析：通過換元法換元，將根號下的數(shù)化簡，最后求值。

　　二次根式運算法則

　　乘除法

　　1.積的算數(shù)平方根的性質(zhì)

　　(a≥0，b≥0)

　　2. 乘法法則

　　(a≥0，b≥0)

　　二次根式的乘法運算法則，用語言敘述為：兩個因式的算術平方根的積，等于這兩個因式積的算術平方根。

　　3.除法法則 (a≥0，b>0)

　　二次根式的除法運算法則，用語言敘述為：兩個數(shù)的算術平方根的商，等于這兩個數(shù)商的算術平方根。

　　二次根式的應用

　　二次根式的應用主要體現(xiàn)在兩個方面：

　　(1)利用從特殊到一般，再由一般到特殊的重要思想方法，解決一些規(guī)律探索性問題;

　　(2)利用二次根式解決長度、高度計算問題，根據(jù)已知量，求出一些長度或高度，或設計省料的方案，以及圖形的拼接、分割問題。這個過程需要用到二次根式的計算，其實就是化簡求值。

　　二次根式專項訓練題目

　　① 設 . 求 的值(用含有n的代數(shù)式標識,其中n為正整數(shù)).

　　化簡 .

　　②已知 ， ，求 的值

　　③ ，其中 ，

　　④

　　⑤

　　⑥已知x、y滿足 ，且x≠0，求 的值

　　⑦設 ，xyz>0且 ，試求 的值